用玩具畫出千變萬化的圖案！

※準備器材：萬花尺、智高玩具（齒輪、橫桿等等）、雙面膠、原子筆

相信很多人都玩過俗稱「萬花尺」的玩具（圖一），包含2個鏤空含有內齒輪的大圓，以及3個不同顏色的小齒輪（齒輪在外圍）。繪圖時將小齒輪放在大圓中，齒輪互相咬合再將筆插入小齒輪不同的洞中，就可以畫出很多不同樣式的圖形（如圖二、圖三）。由於線條呈現螺旋狀，因此常被稱為siprograph（螺旋圖）或design ruler（設計尺）。

萬花尺有相當多的樣式，有些商品設計的大小齒輪，包括了橢圓形、三角形、圓弧形，甚至十字形等等，畫出來的圖形更是繽紛多樣。

本實驗要介紹的是以「智高玩具」來設計萬花尺的畫圖本領！版主經過多次嘗試，設計了三種組裝方式。

實驗一

1.以智高玩具中的大小齒輪、底板以及不同部件等，組裝為圖一之(1)。其中3個小齒輪分別與大齒輪互相接觸，旋轉方向一樣。

2. 將二支連接桿互相銜接後，插入原子筆，再套入小齒論上面，如圖一之(2)

3.將西卡紙剪成與大齒輪大小一樣的圓形，再以雙面膠黏貼在大齒輪上面。

完成後，轉動小齒輪，原子筆就會在西卡紙上面畫畫囉！只要改變連接桿的長度（插入不同的孔洞中），或是改變小齒輪上紅色桿子的相對位置，就可以畫出不同的幾何圖形了！圖五的四個圖形只是例子，如果連接桿的孔洞分別有X、Y個，理論上可以畫出的圖形共有X·Y之多。

實驗二

1.類似實驗一，以智高玩具的齒輪、底板等等，組裝如圖六裝置。圖(1)中，共有四個齒輪，而左上角直立的白色連接桿有五個孔洞。

2.將套了原子筆的連接桿以膠帶固定在竹筷上，再將竹筷分別插入左邊的連接桿以及右邊的齒輪上，如圖六之(2)。完成後，隨著齒輪的轉動，竹筷可以在左邊連接桿的孔洞中左右移動。

本實驗的裝置與實驗一有所差異，但是畫出來的圖形卻相當類似，例如圖六之(2)畫出來的圖形就類似圖五之(4)。

實驗三

1.本實驗的原子筆連接桿比較特別，使用了四支連接桿，如圖七之(1)。

2.齒輪組的裝置如圖七之(2)，共使用了六個大小齒輪。

3.完成的裝置如圖七之(3)，畫出來的圖形如圖七之(4)，圖形與實驗一、實驗二有明顯的不同喔！

觀賞實驗影片（23.0M） 

圖一的萬花尺（spirograph）最初是由波蘭的數學家Bruno Abakanowicz (1852-1900)在1881-1900年間所發明，用來計算曲線所構成的面積。經過半世紀之後，英國工程師Denys Fisher (1918-2002)將改良的萬花尺展示於1965年的「紐倫堡玩具大展」，隨後由自己的公司發行販售。1966年美國也取得經銷權開始販賣，後來萬花尺獲得了「1967年年度玩具」的美譽（參考資料1）。

萬花尺的圖形是由小齒輪中特定的點，在大圓裡面旋轉所形成的曲線圖形，包含了複雜的數學計算，有興趣的讀者可以參閱參考資料1。而參考資料2是電腦模擬，讀者可以自行設定大圓與小圓的半徑以及畫筆的位置，電腦就會以動畫呈現圖形，頗為有趣。 基本上萬花尺圖形「花瓣」的最大數目（一直畫到與起點重疊為止），決定於大圓、小圓的半徑比例。以圖八為例，共有n個「花瓣」，則n為大圓半徑與小圓半徑的「最簡單整數比中的大圓半徑比率」。舉例如下：如果大圓半徑為90、小圓半徑為75，最簡單整數比為90：75＝6：5，大圓半徑比率為6，因此畫出來的圖形有6個花瓣。

　　為什麼花瓣數目只與大圓的半徑比率有關？說明如下：當一個圓在平面上直線滾動時（如圖九的左邊），圓的某個特定點的軌跡的曲線，稱為「擺線（cycloid）」（如圖九的紅色曲線）。當一個圓滾動了5圈（5個圓周長），就會有5個週期的擺線，如圖九之(1)。如果將此線段彎曲成一個大圓，讓小圓在大圓裡面滾動，則擺線會構成一個五角形，如圖九之(1)右邊。這時大圓與小圓的半徑比為5：1。

當小圓的半徑成為二倍時，則相同的距離小圓只能滾動2.5圈。將此線段彎曲成大圓，小圓沿著大圓滾動一圈時（小圓滾動2.5圈），擺線還沒回到出發點（圖九之(2)右邊紅色實線）。小圓繼續滾動2.5圈（紅色虛線）之後，就會回到原點，成為一個5個花瓣的星形。這時大圓與小圓的半徑比為5：2。

由以上說明可知，當萬花尺的大圓、小圓的半徑比為5：1、5：2甚至5：3、5：4，畫出來的圖形都是5個花瓣的形式！

實際觀察圖一的萬花尺，圖一左上最大的圓共有106個齒輪，圖一下橘色的小齒輪有63個齒輪，最簡單整數比即為106：63，大圓半徑比率為106，因此畫出來的圖形有106個花瓣，線條非常緊密。

本實驗使用的智高玩具裝置，雖然和萬花尺的結構有差異，但是同樣為圓周運動所帶動的曲線，因此圖形有部分相同的特徵。例如實驗一到實驗三使用的大小齒輪，其半徑比為3：2，因此顯現出總計3個花瓣的特徵。 由於智高玩具的齒輪半徑為簡單整數比，因此畫出來的圖形比較寬鬆簡易，似乎頗為單調，但是我們可以調整很多變因，使實驗結果比萬花尺更有趣。例如圖十的實驗一裝置，可以改變的變因如下：

1.改變連接桿的A或B到不同的孔洞中，使長度有不同的變化。

2.改變A、B的相對位置，例如將A點往上或往下移動。

3.改變二個小齒輪的位置，例如將二個小齒輪放置在大齒輪兩側，成為水平位置。

除了上述的變化，網路上有很多各種設計的發想，實驗二與實驗三只是其中之一，有興趣的讀者可以參閱參考資料3～5。

1.智高玩具中固定齒輪的底版，由於底板的孔洞是規則性的排列，所以齒輪無法任意的插入所有孔洞，此為實驗的限制之一。

2.連接桿插入的原子筆，必須配合孔洞大小，使用尺寸適合的筆芯，太大會塞不進去，太小則容易晃動，使曲線抖動不平滑。文具店的原子筆選擇性很多，相當容易找到適合的。

3.在實驗一到實驗三，改變不同的連接桿長度時，圖形常會超出紙張範圍，因此必須使用較大的紙張。建議在黏貼紙張之前，先轉動齒輪確認圖形的範圍，再剪裁需要的紙張，以節省消耗。

4.本實驗的操作難度不高，幼兒就可以玩萬花尺，而國小高年級以上就可以嘗試以智高玩具自行組裝，並設計不同的組合方式。在教學上建議可以指導學生討論與實驗以下問題：(1)萬花尺中，將筆放在靠近小齒輪的中央（圓心），或放在遠離小齒輪圓心的位置，畫出來的圖形差異為何？(2)數一數萬花尺中各種大小圓的齒輪數量，然後預測不同的大圓與小齒輪畫出來的圖形，「花瓣」分別會有多少個？(3)進行數學遊戲，由大小齒輪的半徑比（等同齒輪數目比），計算完整的圖形總計有多少個花瓣？例如102：24，則最簡單整數比為102：24＝17：4，大圓半徑比為17，因此畫出來的圖形有17個花瓣。(4)適合高中以上科學社團的進階挑戰：將圖十的三個圓圈不要互相接觸，而是分別接上馬達轉動，並控制馬達的轉速，畫出來的圖形就會千變萬化了！

1. 維基百科（英）：https://en.wikipedia.org/wiki/Spirograph

2. Equation Creations Math Activity（萬花尺電腦模擬）：http://www.mathplayground.com/equation_creations_spiromath.html

3. Spirograph GIFs on Giphy（各類萬花尺集錦）：http://giphy.com/search/spirograph　

4. PrimoGraf Drawing Machine leafpdx：http://leafpdx.bigcartel.com/product/primograf-drawing-machine

5. YouTube 影片：

(1) https://www.youtube.com/watch?v=BG9e06IWAxE

(2) https://www.youtube.com/watch?v=2DjvtjgRdGA

(3) https://www.youtube.com/watch?v=dbEMrp_ZQMw