國立台中教育大學 NTCU

科學教育與應用學系

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千變萬花尺

用玩具畫出千變萬化的圖案!

準備器材萬花尺、智高玩具(齒輪、橫桿等等)、雙面膠、原子筆

操作步驟與現象

相信很多人都玩過俗稱「萬花尺」的玩具(圖一),包含2個鏤空含有內齒輪的大圓,以及3個不同顏色的小齒輪(齒輪在外圍)。繪圖時將小齒輪放在大圓中,齒輪互相咬合再將筆插入小齒輪不同的洞中,就可以畫出很多不同樣式的圖形(如圖二、圖三)。由於線條呈現螺旋狀,因此常被稱為siprograph(螺旋圖)或design ruler(設計尺)。

萬花尺有相當多的樣式,有些商品設計的大小齒輪,包括了橢圓形、三角形、圓弧形,甚至十字形等等,畫出來的圖形更是繽紛多樣。

 

本實驗要介紹的是以「智高玩具」來設計萬花尺的畫圖本領!版主經過多次嘗試,設計了三種組裝方式。

實驗一

1.以智高玩具中的大小齒輪、底板以及不同部件等,組裝為圖一之(1)。其中3個小齒輪分別與大齒輪互相接觸,旋轉方向一樣。

2. 將二支連接桿互相銜接後,插入原子筆,再套入小齒論上面,如圖一之(2)

3.將西卡紙剪成與大齒輪大小一樣的圓形,再以雙面膠黏貼在大齒輪上面。

完成後,轉動小齒輪,原子筆就會在西卡紙上面畫畫囉!只要改變連接桿的長度(插入不同的孔洞中),或是改變小齒輪上紅色桿子的相對位置,就可以畫出不同的幾何圖形了!圖五的四個圖形只是例子,如果連接桿的孔洞分別有X、Y個,理論上可以畫出的圖形共有X·Y之多。

 

實驗二

1.類似實驗一,以智高玩具的齒輪、底板等等,組裝如圖六裝置。圖(1)中,共有四個齒輪,而左上角直立的白色連接桿有五個孔洞。

2.將套了原子筆的連接桿以膠帶固定在竹筷上,再將竹筷分別插入左邊的連接桿以及右邊的齒輪上,如圖六之(2)。完成後,隨著齒輪的轉動,竹筷可以在左邊連接桿的孔洞中左右移動。

本實驗的裝置與實驗一有所差異,但是畫出來的圖形卻相當類似,例如圖六之(2)畫出來的圖形就類似圖五之(4)。

 

實驗三

1.本實驗的原子筆連接桿比較特別,使用了四支連接桿,如圖七之(1)。

2.齒輪組的裝置如圖七之(2),共使用了六個大小齒輪。

3.完成的裝置如圖七之(3),畫出來的圖形如圖七之(4),圖形與實驗一、實驗二有明顯的不同喔!

 

觀賞實驗影片(27.4M) 

原理

圖一的萬花尺(spirograph)最初是由波蘭的數學家Bruno Abakanowicz (1852-1900)在1881-1900年間所發明,用來計算曲線所構成的面積。經過半世紀之後,英國工程師Denys Fisher (1918-2002)將改良的萬花尺展示於1965年的「紐倫堡玩具大展」,隨後由自己的公司發行販售。1966年美國也取得經銷權開始販賣,後來萬花尺獲得了「1967年年度玩具」的美譽(參考資料1)。

萬花尺的圖形是由小齒輪中特定的點,在大圓裡面旋轉所形成的曲線圖形,包含了複雜的數學計算,有興趣的讀者可以參閱參考資料1。而參考資料2是電腦模擬,讀者可以自行設定大圓與小圓的半徑以及畫筆的位置,電腦就會以動畫呈現圖形,頗為有趣。

基本上萬花尺圖形「花瓣」的最大數目(一直畫到與起點重疊為止),決定於大圓、小圓的半徑比例。以圖八為例,共有n個「花瓣」,則n為大圓半徑與小圓半徑的「最簡單整數比中的大圓半徑比率」。舉例如下:如果大圓半徑為90、小圓半徑為75,最簡單整數比為90:75=6:5,大圓半徑比率為6,因此畫出來的圖形有6個花瓣。

  為什麼花瓣數目只與大圓的半徑比率有關?說明如下:當一個圓在平面上直線滾動時(如圖九的左邊),圓的某個特定點的軌跡的曲線,稱為「擺線(cycloid)」(如圖九的紅色曲線)。當一個圓滾動了5圈(5個圓周長),就會有5個週期的擺線,如圖九之(1)。如果將此線段彎曲成一個大圓,讓小圓在大圓裡面滾動,則擺線會構成一個五角形,如圖九之(1)右邊。這時大圓與小圓的半徑比為5:1。

當小圓的半徑成為二倍時,則相同的距離小圓只能滾動2.5圈。將此線段彎曲成大圓,小圓沿著大圓滾動一圈時(小圓滾動2.5圈),擺線還沒回到出發點(圖九之(2)右邊紅色實線)。小圓繼續滾動2.5圈(紅色虛線)之後,就會回到原點,成為一個5個花瓣的星形。這時大圓與小圓的半徑比為5:2。

由以上說明可知,當萬花尺的大圓、小圓的半徑比為5:1、5:2甚至5:3、5:4,畫出來的圖形都是5個花瓣的形式!

實際觀察圖一的萬花尺,圖一左上最大的圓共有106個齒輪,圖一下橘色的小齒輪有63個齒輪,最簡單整數比即為106:63,大圓半徑比率為106,因此畫出來的圖形有106個花瓣,線條非常緊密。

本實驗使用的智高玩具裝置,雖然和萬花尺的結構有差異,但是同樣為圓周運動所帶動的曲線,因此圖形有部分相同的特徵。例如實驗一到實驗三使用的大小齒輪,其半徑比為3:2,因此顯現出總計3個花瓣的特徵。

由於智高玩具的齒輪半徑為簡單整數比,因此畫出來的圖形比較寬鬆簡易,似乎頗為單調,但是我們可以調整很多變因,使實驗結果比萬花尺更有趣。例如圖十的實驗一裝置,可以改變的變因如下:

1.改變連接桿的A或B到不同的孔洞中,使長度有不同的變化。

2.改變A、B的相對位置,例如將A點往上或往下移動。

3.改變二個小齒輪的位置,例如將二個小齒輪放置在大齒輪兩側,成為水平位置。

除了上述的變化,網路上有很多各種設計的發想,實驗二與實驗三只是其中之一,有興趣的讀者可以參閱參考資料3~5。

叮嚀的話

1.智高玩具中固定齒輪的底版,由於底板的孔洞是規則性的排列,所以齒輪無法任意的插入所有孔洞,此為實驗的限制之一。

2.連接桿插入的原子筆,必須配合孔洞大小,使用尺寸適合的筆芯,太大會塞不進去,太小則容易晃動,使曲線抖動不平滑。文具店的原子筆選擇性很多,相當容易找到適合的。

3.在實驗一到實驗三,改變不同的連接桿長度時,圖形常會超出紙張範圍,因此必須使用較大的紙張。建議在黏貼紙張之前,先轉動齒輪確認圖形的範圍,再剪裁需要的紙張,以節省消耗。

4.本實驗的操作難度不高,幼兒就可以玩萬花尺,而國小高年級以上就可以嘗試以智高玩具自行組裝,並設計不同的組合方式。在教學上建議可以指導學生討論與實驗以下問題:(1)萬花尺中,將筆放在靠近小齒輪的中央(圓心),或放在遠離小齒輪圓心的位置,畫出來的圖形差異為何?(2)數一數萬花尺中各種大小圓的齒輪數量,然後預測不同的大圓與小齒輪畫出來的圖形,「花瓣」分別會有多少個?(3)進行數學遊戲,由大小齒輪的半徑比(等同齒輪數目比),計算完整的圖形總計有多少個花瓣?例如102:24,則最簡單整數比為102:24=17:4,大圓半徑比為17,因此畫出來的圖形有17個花瓣。(4)適合高中以上科學社團的進階挑戰:將圖十的三個圓圈不要互相接觸,而是分別接上馬達轉動,並控制馬達的轉速,畫出來的圖形就會千變萬化了!

參考資料

1. 維基百科(英):https://en.wikipedia.org/wiki/Spirograph

2. Equation Creations Math Activity(萬花尺電腦模擬):http://www.mathplayground.com/equation_creations_spiromath.html

3. Spirograph GIFs on Giphy(各類萬花尺集錦):http://giphy.com/search/spirograph 

4. PrimoGraf Drawing Machine leafpdxhttp://leafpdx.bigcartel.com/product/primograf-drawing-machine

5. YouTube 影片:

(1) https://www.youtube.com/watch?v=BG9e06IWAxE

(2) https://www.youtube.com/watch?v=2DjvtjgRdGA

(3) https://www.youtube.com/watch?v=dbEMrp_ZQMw