國立台中教育大學 NTCU

科學教育與應用學系

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歐拉盤

一窺銅板滾動的奧秘
器材:銅板、鐵環、反光板
操作步驟與現象:

相信大家都玩過旋轉銅板的遊戲,銅板旋轉後到平躺靜止,還會發生很清晰的聲響。此種看似熟悉的現象,其實蘊含了相當為複雜的運動過程。

銅板一開始運動時,如圖一;銅板保持直立並且只有「自轉」(spin):自轉軸通過銅板直徑並垂直於桌面,銅板與桌面的接觸點是固定的。直立自轉的速度變慢後,如圖二;銅板開始傾斜並包含了二種運動:(1)「滾動」(roll)運動:銅板邊緣沿著桌面滾動(如同車輪的滾動),且繞著圈圈滾動。(2)自轉運動,但是自轉軸與銅板表面垂直,並通過銅板中心(圖二綠色線段)。最後如圖三,銅板傾斜度增加,銅板與桌面撞擊產生的聲音頻率越來越快(但是自轉速度變慢),最後停止運動。

由於運動過程包括了自轉與滾動,因此常被稱為「sproll」運動;sproll一字取自:自轉spin的sp以及滾動roll的組合。

 

網路上有販售「Eulers disk」(歐拉盤)的商品,售價近一千元台幣(如右圖),此商品的底座是略微凹陷的鏡面,而金屬製轉盤的質量頗大,達400公克(直徑7.5公分),又可以更換不同的面板,以產生不同的視覺效果。令人驚訝的是:轉盤由滾動到靜止可以長達一分鐘以上,相當奇特,影片請見參考資料1。

版主嘗試以文具行或五金行買得到的材料試驗,試驗是否可以實驗出Eulers disk的長時間滾動的效果,結果如下:

實驗方法:時間記錄

先用力轉動實驗的圓盤,不計算「直立自轉」的時間,因為越用力轉動銅板,銅板自轉(如圖二)的時間就越久,結果較不客觀。因此記錄時間的方法如圖四~圖六,例如圖四在銅板上劃一黑點為記號,用力旋轉之後,一開始可觀察到黑點會保持一定的高度(或高度的變化很小),如圖五;代表銅板只有直立的自轉,沒有滾動。當黑點的高度開始迅速變化,如圖六;代表銅板的滾動運動明顯(銅板也開始傾斜),此時開始計時,直到停止運動為止。

 

實驗結果

實驗對象除了銅板之外,包括了五金行買的鐵環(右圖左)以及反光板(右圖右,直徑10.3公分)。實驗結果如表一。由表一的實驗結果顯示,雖然有變異存在,但是可看出銅板或鐵環的半徑越大,滾動時間有越長的傾向。而效果最好的是反光板,當3片反光板黏貼之後,滾動的時間可以達到35秒

觀看實驗影片(14.8M

原理:

在十八世紀時,數學家歐拉(Leonhard Euler)就研究了圓盤滾動的動力學系統,因此後世就稱為「歐拉盤」(Euler's disk)。直到目前都還有物理學家、數學家發表有關於歐拉盤的研究論文。

歐拉盤(銅板)的運動,從能量的角度而言,轉動的能量除了一開始轉動時,除了手用力旋轉給予的能量之外,主要是來自銅板由直立到平躺的重力位能(gravitational potential energy)變化,亦即位能轉換為動能而在滾動過程(不包含直立自轉的階段),銅板會越滾越快,發出聲音的頻率也越來越高,最後驟然停止,由文獻資料簡略說明如下:

首先說明下圖中「銅板的進動的角速度」Wp。假設在銅板中心(質心)劃一垂直軸(綠色線段),可觀察到在滾動過程中此垂直軸會以一定速度旋轉,此現象為「進動(procession)」(註:陀螺的運動很容易看到進動現象),銅板進動的角速度稱為Wp

假設沒有摩擦力、銅板厚度可忽略、銅板沒有滑動…等等,理論上由數學推導可得知;重力加速度固定時,銅板的Wp的平方與銅板的半徑、傾斜角度θ 成反比(詳細推導過程請見參考資料2)

如果銅板的滾動過程沒有任何能量消耗,理論上銅板會永遠維持一定角度的滾動,不會停止。但是由於有摩擦力以及銅板會在桌面滑動等無可避免的因素,因此銅板的重心必然會因為失去重力位能而降低,亦即與桌面的夾角θ 會變小。當θ 變小,則Wp變大;因此銅板在滾動過程,隨著角度越傾斜,會有滾動越快,與桌面撞擊產生的聲音頻率越快的現象了。

上述的滾動過程,在實際觀察時,可看到到銅板會伴隨著「自轉」運動(上圖銅板平面上的藍色箭頭),此種自轉運動會越來越慢,此現象應是由於銅板在桌面上會滑動的結果。

無論如何,版主由文獻並未發現有關「轉盤的滾動時間」與「轉盤半徑或質量」關係的詳細討論。市售的Euler's disk應是嘗試錯誤的成果,因此最佳的「半徑-質量」比率,仍是有待深入探討的問題。

叮嚀的話:

1.進行銅板或鐵環等的滾動實驗,由於不容易由肉眼判斷開始滾動的起點,因此表一的實驗結果僅能代表粗略的估計值。如果教師使用於科展的實驗,建議需要購買光學儀器,以進行更精確的測量。

2.桌面的材質對於轉盤的滾動時間影響很大,建議在光滑的、堅硬的桌面(例如玻璃桌)上進行實驗。

3.以反光板進行實驗,疊為三層時,由於厚度較大,開始旋轉後,幾乎沒有「直立自轉」的階段,在教學上可指導學生留意觀察厚度的影響與差別。

4.在教學上,建議可以指導學生討論與實驗以下問題:(1)以銅版進行實驗,觀察與紀錄只用一個銅板,以及二個或三個銅板黏貼起來,由滾動到靜止的時間有何差異?發出的聲音是否也有差異?(2)進行小組競賽:每一組自行尋找材料,並可疊合黏貼多層,實驗哪一組製作的轉盤由滾動到靜止的時間最長?(3)實驗不同的桌面對於轉盤滾動的時間有何影響?(4)實驗改變重量的影響,例如:反光板黏貼鐵環增加重量之後,滾動時間的變化為何?

參考資料:

1. Grand Illusionshttp://www.grand-illusions.com/acatalog/Euler_s_Disc.html

2. Real world physics problemshttp://www.real-world-physics-problems.com/eulers-disk.html

3. Educational Innovations, Inc.http://www.teachersource.com/product/eulers-disk/energy

4. physicsworldhttp://physicsworld.com/cws/article/news/2000/apr/20/the-physics-of-a-spinning-coin

5. The Official Euler's Disk Websitehttp://www.eulersdisk.com/pubs.html

6. 清華大學物理系科普網