相信大家都玩過旋轉銅板的遊戲，銅板旋轉後到平躺靜止，還會發生很清晰的聲響。此種看似熟悉的現象，其實蘊含了相當為複雜的運動過程。

銅板一開始運動時，如圖一；銅板保持直立並且只有「自轉」（spin）：自轉軸通過銅板直徑並垂直於桌面，銅板與桌面的接觸點是固定的。直立自轉的速度變慢後，如圖二；銅板開始傾斜並包含了二種運動：(1)「滾動」（roll）運動：銅板邊緣沿著桌面滾動（如同車輪的滾動），且繞著圈圈滾動。(2)自轉運動，但是自轉軸與銅板表面垂直，並通過銅板中心（圖二綠色線段）。最後如圖三，銅板傾斜度增加，銅板與桌面撞擊產生的聲音頻率越來越快（但是自轉速度變慢），最後停止運動。

由於運動過程包括了自轉與滾動，因此常被稱為「sproll」運動；sproll一字取自：自轉spin的sp以及滾動roll的組合。

網路上有販售「Euler’s disk」（歐拉盤）的商品，售價近一千元台幣（如右圖），此商品的底座是略微凹陷的鏡面，而金屬製轉盤的質量頗大，達400公克（直徑7.5公分），又可以更換不同的面板，以產生不同的視覺效果。令人驚訝的是：轉盤由滾動到靜止可以長達一分鐘以上，相當奇特，影片請見參考資料1。 版主嘗試以文具行或五金行買得到的材料試驗，試驗是否可以實驗出Euler’s disk的長時間滾動的效果，結果如下：

實驗方法：時間記錄

先用力轉動實驗的圓盤，不計算「直立自轉」的時間，因為越用力轉動銅板，銅板自轉（如圖二）的時間就越久，結果較不客觀。因此記錄時間的方法如圖四~圖六，例如圖四在銅板上劃一黑點為記號，用力旋轉之後，一開始可觀察到黑點會保持一定的高度（或高度的變化很小），如圖五；代表銅板只有直立的自轉，沒有滾動。當黑點的高度開始迅速變化，如圖六；代表銅板的滾動運動明顯（銅板也開始傾斜），此時開始計時，直到停止運動為止。

實驗結果 實驗對象除了銅板之外，包括了五金行買的鐵環（右圖左）以及反光板（右圖右，直徑10.3公分）。實驗結果如表一。由表一的實驗結果顯示，雖然有變異存在，但是可看出銅板或鐵環的半徑越大，滾動時間有越長的傾向。而效果最好的是反光板，當3片反光板黏貼之後，滾動的時間可以達到35秒。

觀看實驗影片（26.7M）

在十八世紀時，數學家歐拉（Leonhard Euler）就研究了圓盤滾動的動力學系統，因此後世就稱為「歐拉盤」（Euler's disk）。直到目前都還有物理學家、數學家發表有關於歐拉盤的研究論文。

歐拉盤（銅板）的運動，從能量的角度而言，轉動的能量除了一開始轉動時，除了手用力旋轉給予的能量之外，主要是來自銅板由直立到平躺的「重力位能（gravitational potential energy）」變化，亦即位能轉換為動能。而在滾動過程（不包含直立自轉的階段），銅板會越滾越快，發出聲音的頻率也越來越高，最後驟然停止，由文獻資料簡略說明如下：

首先說明下圖中「銅板的進動的角速度」W_p。假設在銅板中心（質心）劃一垂直軸（綠色線段），可觀察到在滾動過程中此垂直軸會以一定速度旋轉，此現象為「進動（procession）」（註：陀螺的運動很容易看到進動現象），銅板進動的角速度稱為W_p 。

假設沒有摩擦力、銅板厚度可忽略、銅板沒有滑動…等等，理論上由數學推導可得知；重力加速度固定時，銅板的W_p的平方與銅板的半徑、傾斜角度θ 成反比。（詳細推導過程請見參考資料2）

如果銅板的滾動過程沒有任何能量消耗，理論上銅板會永遠維持一定角度的滾動，不會停止。但是由於有摩擦力以及銅板會在桌面滑動等無可避免的因素，因此銅板的重心必然會因為失去重力位能而降低，亦即與桌面的夾角θ 會變小。當θ 變小，則W_p變大；因此銅板在滾動過程，隨著角度越傾斜，會有滾動越快，與桌面撞擊產生的聲音頻率越快的現象了。

上述的滾動過程，在實際觀察時，可看到到銅板會伴隨著「自轉」運動（上圖銅板平面上的藍色箭頭），此種自轉運動會越來越慢，此現象應是由於銅板在桌面上會滑動的結果。

無論如何，版主由文獻並未發現有關「轉盤的滾動時間」與「轉盤半徑或質量」關係的詳細討論。市售的Euler's disk應是嘗試錯誤的成果，因此最佳的「半徑－質量」比率，仍是有待深入探討的問題。

1.進行銅板或鐵環等的滾動實驗，由於不容易由肉眼判斷開始滾動的起點，因此表一的實驗結果僅能代表粗略的估計值。如果教師使用於科展的實驗，建議需要購買光學儀器，以進行更精確的測量。

2.桌面的材質對於轉盤的滾動時間影響很大，建議在光滑的、堅硬的桌面（例如玻璃桌）上進行實驗。

3.以反光板進行實驗，疊為三層時，由於厚度較大，開始旋轉後，幾乎沒有「直立自轉」的階段，在教學上可指導學生留意觀察厚度的影響與差別。

4.在教學上，建議可以指導學生討論與實驗以下問題：(1)以銅版進行實驗，觀察與紀錄只用一個銅板，以及二個或三個銅板黏貼起來，由滾動到靜止的時間有何差異？發出的聲音是否也有差異？(2)進行小組競賽：每一組自行尋找材料，並可疊合黏貼多層，實驗哪一組製作的轉盤由滾動到靜止的時間最長？(3)實驗不同的桌面對於轉盤滾動的時間有何影響？(4)實驗改變重量的影響，例如：反光板黏貼鐵環增加重量之後，滾動時間的變化為何？

1. Grand Illusions：http://www.grand-illusions.com/acatalog/Euler_s_Disc.html

2. Real world physics problems：http://www.real-world-physics-problems.com/eulers-disk.html

3. Educational Innovations, Inc.：http://www.teachersource.com/product/eulers-disk/energy

4. physicsworld：http://physicsworld.com/cws/article/news/2000/apr/20/the-physics-of-a-spinning-coin

5. The Official Euler's Disk Website：http://www.eulersdisk.com/pubs.html

6. 清華大學物理系科普網