一般的單擺是懸掛著擺錘，支點固定在上方，如圖一左。而「反向單擺」倒過來，支點在下方，而擺錘在上方，如圖一右。反向單擺在研究上最關心的問題是：如何讓擺錘維持平衡不會掉下來？這方面的研究有相當多的應用，例如著名的「賽格威（Segway）」，如圖二，以電力驅動具有自我平衡能力的個人運輸工具，就是一種反向單擺研究的應用。以下二個實驗探討反向單擺如何維持平衡的奧秘。

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實驗一 人力平衡

取一根細木棍（建議長一公尺以上），一端放在手指上（如圖三），試著讓木棍維持直立平衡，不要掉下來。過程中可以移動身體，但是不能握住木棍。結果可以發現很不容易平衡，經常不到五秒鐘就會倒下來。

接著在木棍的頂端插入一團黏土，如圖四，再試著平衡看看。直覺上頂端加了黏土，重心就會變高，木棍應該更不容易平衡。但是實驗結果發現：更容易平衡！

實驗二 振動平衡

本實驗是探討振動對於反向單擺平衡的影響，實驗過程如下：

1.取一個左右振動的刮鬍刀（不要使用旋轉刀片的刮鬍刀），打開蓋子將刀片取下。

2.將冰棒棍剪一小段，冰棒棍前端鑽一個小洞，如圖五(1)。

3.插入珠針（珠針可以自由轉動），如圖五(2)。珠針先剪短一些，再將尖端插入火柴棒中。

4.將冰棒棍另一端先塗一點保麗龍膠，再插入刮鬍刀中央原本插刀片的凹槽中，如圖五(3)。完成後，火柴棒會因為重力垂直朝下。

5.等保麗龍膠乾燥之後，打開刮鬍刀開關，帶動火柴棒開始振動。結果如圖六，火柴棒好像克服了重力，可以直立著，不會掉下來！而且將刮鬍刀傾斜，還是可以維持平衡喔！

家裡如果有吉他的「捲弦器」（如圖七），以及按摩棒，可以進行以下實驗：打開按摩棒開始振動，將捲弦器一端接觸按摩棒（要稍微用力往下壓），如圖八。捲弦器的頭部本來可以自由轉動，但是接觸按摩棒之後，捲弦器的頭部會自動直立起來，久久不會掉下來喔！

實驗一

細木棍放在手指上時，木棍會以轉動的方式掉落，如圖九。木棍轉動的角加速度α和旋轉半徑有關，旋轉半徑為質心（紅色點）到支點的距離。由圖九(1)可知原始木棍的旋轉半徑為d，木棍頂端插入黏土後，重心往上移動，旋轉半徑增加為D，如圖九(2)。

木棍旋轉的角加速度α和旋轉半徑成反比（詳細推導請見參考資料1），由於d＜D，因此插了黏土的木棍角加速度比較小，也就是說單位時間內轉動的角度比較小。轉動的角度比較小，手指移動到平衡位置的時間就比較充裕，因此在操作上比較容易維持平衡。

實驗二

上下快速振動的單擺可以維持直立平衡，呈現了「動態穩定」（dynamic stability）的現象，是由英國物理學家司蒂芬遜（A. Stephenson）在1908年所發現。直到1951年才由蘇俄物理學家卡皮察（P. Kapitza）提出理論，解釋了這個不尋常的現象。因此後來稱為「司蒂芬遜－卡皮察單擺」（Stephenson-Kapitza pendulum），直到目前都還有學者發表相關的研究論文。由於相關的研究關注於數學推演或電腦模擬，內容過於艱深，以下根據Butikov（2011）的解釋說明如圖十。

當反向單擺往下振動時，如圖十(1)，單擺由1的位置往下運動到2，並帶動擺錘運動（藍色箭頭為運動方向），擺錘受到的慣性力F朝上（紅色箭頭），F形成的力矩（=F·R；力乘力臂）會使擺錘往中心軸靠近（逆時針方向）。反之單擺由下往上振動時，如圖十(2)，慣性力F朝下，F形成的力矩（=F·r）會使擺錘遠離中心軸（順時針方向）。換言之，單擺往下振動時，會使擺錘靠近中心軸；往上振動時，則遠離中心軸。但是由於力臂R大於力臂r，所以往中心軸靠近的力矩大於遠離中心軸的力矩，淨力矩有利於靠近中心軸，因此形成了擺錘傾向於維持在中心軸的現象。

值得注意的是：不同的振動頻率、振幅以及擺長（例如圖六火柴棒的長度），都會影響反向單擺能否直立平衡，不是任何頻率與振幅都可以使反向單擺達成動態穩定的狀態。

1.進行實驗一時，建議使用長一點的棍子，以及大一點的黏土，以使重心的距離差異更大，比較能顯示出平衡的難易度差別。

2.實驗二按摩棒的實驗（圖八），由於按摩棒不是單純的上下振動，也包含左右振動，因此捲弦器接觸按摩棒之後，不是立即直立平衡，需要改變與移動位置。只要嘗試幾次就可以找到適當位置，讓捲弦器的頭部直立起來。

3.實驗二火柴棒的實驗（圖五），冰棒要先塗保麗龍膠再插入刮鬍刀中央的凹槽，是為了避免在振動過程中掉下來。實驗結束之後，保麗龍膠可以用刀片輕輕地刮下來，電動刮鬍刀就可以再正常使用。

4.在教學上可以進行以下的活動：(1)進行實驗一時，先不告知結果，請學生猜測木棍不插黏土以及插了黏土，何者重心較高？何者又比較容易在手指上維持平衡？(2)已經插了黏土的木棍，改變黏土不同高低位置，結果又有何差異？(3)進行實驗二電動刮鬍刀的實驗時，火材棒的長度改變，會影響平衡狀態嗎？

1.中興大學普物演示廳：http://experiment.phys.nchu.edu.tw/device/exp29.html

2.Butikov, E. I. (2011). An improved criterion for Kapitza’s pendulum stability. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 44(29), 295202, 16 pp.

3. Harvard Natural Sciences Lecture Demonstrations. Inverted Pendulum. https://sciencedemonstrations.fas.harvard.edu/presentations/inverted-pendulum

4. YouTube影片：(1) https://www.youtube.com/watch?v=OB3ufWYpj-I

(2) https://www.youtube.com/watch?v=cjGqxF79ITI

(3) https://www.youtube.com/watch?v=gnn21smGVrQ