國立台中教育大學 NTCU

科學教育與應用學系

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簡諧運動之美

單擺不簡單,能畫出複雜的圖案喔!
器材:繩子、啞鈴、PVC管、梯子、原子筆、絕緣膠帶
操作步驟與現象:

本網站曾介紹過「創意水彩畫」,利用懸掛為Y形的單擺,畫出漂亮的幾何圖案。本實驗也是利用單擺的擺動,但是實驗裝置比較複雜,可以畫出更精細、更漂亮複雜的圖案。實驗裝置如下:

1.如圖一,以二條繩子將啞鈴(擺錘)左右二端懸掛在梯子上,形成單擺。

2.梯子建議至少5尺長(約1.5公尺),啞鈴重量共80磅(約37公斤)。

3.在梯子上方,繩子要綁成Y形(如圖一左上),打結的地方要儘量靠近梯子上方,讓繩子的擺長儘量長一點。

4.以絕緣膠帶將「筆套」固定在啞鈴上,如圖一右,以便插入原子筆。筆套可以製作一支,也可以製作二支同時作畫。

5.「筆套」製作方法:

(1)選取管徑略大於原子筆的PVC管,裁切一段約10公分長(如圖二下)。

(2)挑選形狀較規則的原子筆,放入PVC管中(如圖三)。手握PVC管並上下、左右來回移動,試驗原子筆是否能順暢的書寫畫線?如果畫的線斷斷續續,再換一支,務必挑選能夠順暢書寫的原子筆。

(3)為了避免原子筆在PVC管子內晃動,用絕緣膠帶纏繞原子筆以增加厚度(如圖四),並且在原子筆的上下二端分別纏繞一段(如圖二上)。纏繞時務必保持膠帶的平整,並使膠帶的厚度接近PVC管的內徑,使原子筆可以在PVC管內上下自由移動,並且不會左右晃動。

完成以後,在啞鈴的下方放置數張紙,然後提起啞鈴再放下,只要改變提起的角度與方向,就可以畫出各種漂亮的圖案了!

為了得到乾淨、漂亮的圖案,操作時請注意:(1)提起啞鈴放開之後,一開始啞鈴會亂晃,因此在開始擺動大約一秒後,抽掉第一張紙,讓啞鈴在第二張紙上作畫,圖案會比較完整有規則性。(2)結束時不能直接抽出紙張,因為會畫出線條,必須等啞鈴靜止之後,用手小心地將原子筆往上提,再抽出紙張。

 

觀看實驗影片(12.3M

實驗作品欣賞

 

原理:

本實驗的操作參考自Jonathan Lansey的個人網站(參考資料1),原理與「創意水彩畫」的「Y形單擺(Y-suspended pendulum)」相當類似,但是略為複雜。此種利用擺動與旋轉運動過程所繪製的圖形,常被稱為「諧波圖(harmonograph)」,並且與「利薩如曲線(Lissajous curves)」有關連性。

「利薩如曲線」是兩個沿著互相垂直方向的正弦振動的合成的軌跡,改變下述公式(參考資料2)的振幅、角度、頻率比率等等,可以畫出不同的幾何圖案。

Worland & Moelter(2000)實驗Y形單擺的擺動軌跡,發現可以吻合利薩如曲線的公式(如圖五)。但是利薩如公式的曲線圖形,與本實驗的結果並不吻合,相對而言,本實驗的圖形更為複雜。造成差異的原因,主要是因為利薩如曲線的振幅並沒有隨時間改變,亦即振幅保持固定。但是本實驗的單擺擺動過程中,由於有摩擦力、空氣阻力等等因素,振幅會隨時間而逐漸變小。另一方面,本實驗啞鈴的運動,不只是水平軸(x)、垂直軸(y)的擺動,也包括了啞鈴軸(z)的左右擺動(如圖六)。

 

Tutelman(2008)的網站討論了振幅衰減的影響以及電腦模擬圖形(參考資料4),修訂利薩如曲線的公式如下,其中增加了「振幅的衰減常數」D;而正弦sin改為餘弦cos只是電腦模擬的美學原因,不是數學上的必要性。公式的模擬結果(如圖七)與本實驗的圖案之一頗為吻合,但是能否符合其他圖案的解釋則尚未能確定。

 

叮嚀的話:

1.本實驗的繩子綁法,影響頗大,尤其是綁在梯子最高的地方。建議綁成Y形(如圖一左上),畫出來的圖案比較有特定模式,也比較多樣、漂亮。如果繩子只是單純繞過梯子最高處,圖案會比較缺乏美感。

2.梯子越長(越高),亦即擺長越長,圖案的細精細度以及層次性都可增加,建議不要使用低於5尺(約1.5公尺)的梯子。

3.啞鈴的重量是重要變數之一,因為擺錘的重量越大,單擺的振幅「衰減係數」越小(能量衰減的比率越小),就可以擺動比較久。如果擺錘太輕,很容易就停止擺動,也比較畫不出美觀的圖案,建議總重量不要低於60磅(約27公斤)。但是由於重量頗大,不容易搬動,請注意安全不要被壓到,同時也要留意:繩子是否太細而有斷掉的可能?

4.實驗裝置的製作,比較花時間的是「筆套」的製作。注意事項如下:

(1)購買「書寫順暢」的原子筆時,如果用手握在筆上直接書寫,並不準確,因為手會施予原子筆壓力,所以幾乎都是「書寫順暢」。因此必須以圖三的方式試驗,確認原子筆在PVC管子內自由移動時(含上下左右),也能順暢的留下筆跡。

(2)為了使原子筆吻合PVC管子的口徑大小,必須纏繞「絕緣膠帶」(如圖四)。注意纏繞時不要用力拉扯絕緣膠帶,以免變形。尤其要注意的是:不要使用一般的透明膠帶!一方面是因為透明膠帶太薄,要繞很多圈,另一方面是不容易平滑的纏繞,很容易有皺褶而不滑順。

5.本實驗很適合引導學生鑑賞「科學之美」,也能培養學生的實驗知能,在教學上可以指導學生觀察與討論以下問題:(1)啞鈴提起的角度、位置不一樣時,畫出來的圖案有何差別?(2)啞鈴歪斜時(圖六的z軸改變),畫出來的圖案主要特徵為何?(3)提起啞鈴後,以手推動啞鈴,推動的力道大小對於圖案有何影響呢?

參考資料:

1. Analysis of a single pendulum harmonograph: http://www.jonathan.lansey.net/pastimes/pendulum/index.html

2. 利薩茹曲線 - 維基百科,自由的百科全書:http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%88%A9%E8%90%A8%E8%8C%B9%E6%9B%B2%E7%BA%BF

3. Worland, R. S., & Moelter, M. J. (2000). Two-dimensional pendulum experiments using a spark generator. The Physics Teacher, 38, 489-492.

4. Tutelman, D. (2008). Physics of FLO. http://www.tutelman.com/golf/shafts/FLOphysics.php

5. ISSUU-Dan Dodds Portfolio by Dan Dodds: http://issuu.com/dandodds/docs/dan_dodds_portfolio/5

6. Harmonographs on Pinterest 39 Pins: https://www.pinterest.com/lynetteDGV/harmonographs/

7. How to Make a Three-Pendulum Rotary Harmonograph: http://www.karlsims.com/harmonograph/index.html

8. Harmonographs: http://www.1920-30.com/toys/things-to-make/harmonographs.html

9. Two Pendulum Harmonograph: http://harmonographs.freewebspace.com/photo.html