本網站曾介紹過「創意水彩畫」，利用懸掛為Y形的單擺，畫出漂亮的幾何圖案。本實驗也是利用單擺的擺動，但是實驗裝置比較複雜，可以畫出更精細、更漂亮複雜的圖案。實驗裝置如下：

1.如圖一，以二條繩子將啞鈴（擺錘）左右二端懸掛在梯子上，形成單擺。

2.梯子建議至少5尺長（約1.5公尺），啞鈴重量共80磅（約37公斤）。

3.在梯子上方，繩子要綁成Y形（如圖一左上），打結的地方要儘量靠近梯子上方，讓繩子的擺長儘量長一點。

4.以絕緣膠帶將「筆套」固定在啞鈴上，如圖一右，以便插入原子筆。筆套可以製作一支，也可以製作二支同時作畫。

5.「筆套」製作方法：

(1)選取管徑略大於原子筆的PVC管，裁切一段約10公分長（如圖二下）。

(2)挑選形狀較規則的原子筆，放入PVC管中（如圖三）。手握PVC管並上下、左右來回移動，試驗原子筆是否能順暢的書寫畫線？如果畫的線斷斷續續，再換一支，務必挑選能夠順暢書寫的原子筆。

(3)為了避免原子筆在PVC管子內晃動，用絕緣膠帶纏繞原子筆以增加厚度（如圖四），並且在原子筆的上下二端分別纏繞一段（如圖二上）。纏繞時務必保持膠帶的平整，並使膠帶的厚度接近PVC管的內徑，使原子筆可以在PVC管內上下自由移動，並且不會左右晃動。

完成以後，在啞鈴的下方放置數張紙，然後提起啞鈴再放下，只要改變提起的角度與方向，就可以畫出各種漂亮的圖案了！

為了得到乾淨、漂亮的圖案，操作時請注意：(1)提起啞鈴放開之後，一開始啞鈴會亂晃，因此在開始擺動大約一秒後，抽掉第一張紙，讓啞鈴在第二張紙上作畫，圖案會比較完整有規則性。(2)結束時不能直接抽出紙張，因為會畫出線條，必須等啞鈴靜止之後，用手小心地將原子筆往上提，再抽出紙張。

觀看實驗影片（17.2M）

實驗作品欣賞

原圖	原圖	原圖
原圖	原圖	原圖
原圖	原圖	原圖
原圖	原圖	原圖
原圖	原圖	原圖

本實驗的操作參考自Jonathan Lansey的個人網站（參考資料1），原理與「創意水彩畫」的「Y形單擺（Y-suspended pendulum）」相當類似，但是略為複雜。此種利用擺動與旋轉運動過程所繪製的圖形，常被稱為「諧波圖（harmonograph）」，並且與「利薩如曲線（Lissajous curves）」有關連性。

「利薩如曲線」是兩個沿著互相垂直方向的正弦振動的合成的軌跡，改變下述公式（參考資料2）的振幅、角度、頻率比率等等，可以畫出不同的幾何圖案。

Worland & Moelter（2000）實驗Y形單擺的擺動軌跡，發現可以吻合利薩如曲線的公式（如圖五）。但是利薩如公式的曲線圖形，與本實驗的結果並不吻合，相對而言，本實驗的圖形更為複雜。造成差異的原因，主要是因為利薩如曲線的振幅並沒有隨時間改變，亦即振幅保持固定。但是本實驗的單擺擺動過程中，由於有摩擦力、空氣阻力等等因素，振幅會隨時間而逐漸變小。另一方面，本實驗啞鈴的運動，不只是水平軸(x)、垂直軸(y)的擺動，也包括了啞鈴軸(z)的左右擺動（如圖六）。

Tutelman（2008）的網站討論了振幅衰減的影響以及電腦模擬圖形（參考資料4），修訂利薩如曲線的公式如下，其中增加了「振幅的衰減常數」D；而正弦sin改為餘弦cos只是電腦模擬的美學原因，不是數學上的必要性。公式的模擬結果（如圖七）與本實驗的圖案之一頗為吻合，但是能否符合其他圖案的解釋則尚未能確定。

1.本實驗的繩子綁法，影響頗大，尤其是綁在梯子最高的地方。建議綁成Y形（如圖一左上），畫出來的圖案比較有特定模式，也比較多樣、漂亮。如果繩子只是單純繞過梯子最高處，圖案會比較缺乏美感。

2.梯子越長（越高），亦即擺長越長，圖案的細精細度以及層次性都可增加，建議不要使用低於5尺（約1.5公尺）的梯子。

3.啞鈴的重量是重要變數之一，因為擺錘的重量越大，單擺的振幅「衰減係數」越小（能量衰減的比率越小），就可以擺動比較久。如果擺錘太輕，很容易就停止擺動，也比較畫不出美觀的圖案，建議總重量不要低於60磅（約27公斤）。但是由於重量頗大，不容易搬動，請注意安全不要被壓到，同時也要留意：繩子是否太細而有斷掉的可能？

4.實驗裝置的製作，比較花時間的是「筆套」的製作。注意事項如下：

(1)購買「書寫順暢」的原子筆時，如果用手握在筆上直接書寫，並不準確，因為手會施予原子筆壓力，所以幾乎都是「書寫順暢」。因此必須以圖三的方式試驗，確認原子筆在PVC管子內自由移動時（含上下左右），也能順暢的留下筆跡。

(2)為了使原子筆吻合PVC管子的口徑大小，必須纏繞「絕緣膠帶」（如圖四）。注意纏繞時不要用力拉扯絕緣膠帶，以免變形。尤其要注意的是：不要使用一般的透明膠帶！一方面是因為透明膠帶太薄，要繞很多圈，另一方面是不容易平滑的纏繞，很容易有皺褶而不滑順。

5.本實驗很適合引導學生鑑賞「科學之美」，也能培養學生的實驗知能，在教學上可以指導學生觀察與討論以下問題：(1)啞鈴提起的角度、位置不一樣時，畫出來的圖案有何差別？(2)啞鈴歪斜時（圖六的z軸改變），畫出來的圖案主要特徵為何？(3)提起啞鈴後，以手推動啞鈴，推動的力道大小對於圖案有何影響呢？

1. Analysis of a single pendulum harmonograph: http://www.jonathan.lansey.net/pastimes/pendulum/index.html

2. 利薩茹曲線 - 維基百科，自由的百科全書：http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%88%A9%E8%90%A8%E8%8C%B9%E6%9B%B2%E7%BA%BF

3. Worland, R. S., & Moelter, M. J. (2000). Two-dimensional pendulum experiments using a spark generator. The Physics Teacher, 38, 489-492.

4. Tutelman, D. (2008). Physics of FLO. http://www.tutelman.com/golf/shafts/FLOphysics.php

5. ISSUU-Dan Dodds Portfolio by Dan Dodds: http://issuu.com/dandodds/docs/dan_dodds_portfolio/5

6. Harmonographs on Pinterest 39 Pins: https://www.pinterest.com/lynetteDGV/harmonographs/

7. How to Make a Three-Pendulum Rotary Harmonograph: http://www.karlsims.com/harmonograph/index.html

8. Harmonographs: http://www.1920-30.com/toys/things-to-make/harmonographs.html

9. Two Pendulum Harmonograph: http://harmonographs.freewebspace.com/photo.html